Joel Parra es va formar a les categories inferiors del Joventut, a les quals va arribar amb tan sols quatre anys.

L'any 2016 va ser un dels dos jugadors espanyols seleccionats per disputar el Jordan Brand Classic, celebrat a Brooklyn, i a l'estiu de 2018 va ser l'únic nacional seleccionat per participar al campus Basketball Without Borders Global Camp que coorganitzen l'NBA i la FIBA.

El 3 de desembre de l'any 2017, quan jugava amb l'Arenys a EBA, va debutar a la Lliga Endesa amb la Penya en un partit a Màlaga. La temporada 2019-20 forma part per primera vegada de la plantilla del primer equip de la Penya. Durant la temporada següent va agafant protagonisme dins l'equip fins a consolidar-se com un jugador clau, fent que durant la 21-22 es comencin a sentir rumors sobre l'interès despertat per clubs de la talla del Barcelona i el Madrid per contractar-lo. L'estiu de 2023, després d'una temporada on la Penya va ser semifinalista de Lliga, Copa i Eurocup i en la que el paper de Joel començava a ser significativament important, decideix marxar al FC Barcelona després de rescindir el contracte que l'unia amb el club fent efectiu el pagament del milió d'euros de la clàusula de rescissió.

Va debutar amb la selecció espanyola absoluta en el mes de febrer de 2021, havent passat per totes les seleccions de les categories inferiors.

L'any 2016, jugant amb la sub16 a l'europeu que es va celebrar a Polònia, va ser decisiu perquè Espanya guanyès l'or amb més de 17 punts i 7,4 rebots de mitjana per partit. Un any més tard va ser plata amb la selecció espanyola sub18 a l'europeu d'Eslovàquia, i el 2019 novament la plata a l'europeu sub20.